Objetivo
Reconhecer ângulos internos de um polígono convexo qualquer e calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.
Nível escolar
9º ano – Ensino Fundamental
Tempo
150 minutos (3 horas/aula de 50 minutos cada)
Conteúdo
Soma das medidas dos ângulos internos de polígonos convexos.
Momentos
Introdução: Professor(a), explore o tutorial Geogebra da tarefa – parte I e II antes de implementar a tarefa na sala de aula. O primeiro tem por objetivo calcular a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer utilizando o Geogebra. Já o segundo tutorial tem por objetivo o cálculo da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo, sendo assim, iniciamos com o triângulo e seguimos com os quadriláteros. Em seguida, você pode entregar a tarefa e o tutotial para os estudantes. Além de realizar a leitura das questões da tarefa com os estudantes, solicite que digam do que se trata a tarefa.
Resolução da tarefa: Após esclarecimentos sobre a tarefa, solicite que a turma se organizem em grupos compostos de três estudantes e durante a resolução, é aconselhável que você acompanhe os grupos, observando as estratégias desenvolvidas pelos estudantes e, se necessário, faça as devidas intervenções, mas não interfira no caráter investigativo da tarefa.
Socialização: Nesse momento, solicite que cada grupo comente suas estratégias e respostas realizadas durante a resolução da tarefa. Você pode aproveitar para legitimar as respostas dos estudantes, observando se ocorreu alguma resposta incorreta e esclarecendo as dúvidas.
Sistematização: Professor(a), você poderá comentar as questões e analisar as soluções apresentadas pelos estudantes junto com eles. Caso necessário, apresente a expressão matemática que permita calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados.
Recursos
Folha da tarefa; software Geogebra.
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A SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO QUALQUER
Profa. Cecília Gilene Tenório de Almeida Caramés
O presente relato teve como objetivo descrever uma tarefa realizada em uma turma do 9º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Raphael Serravalle, localizado no município de Salvador, na Bahia, em 2013. Essa turma era composta por 38 estudantes com faixa etária entre 12 e 15 anos, dos quais 35 participaram da tarefa.
Para realizar a tarefa, trabalhamos no laboratório de informática e usamos o Geogebra, um software de matemática dinâmica com o qual se pode explorar conceitos de geometria e álgebra. Esse software é gratuito e pode ser facilmente instalado por meio do site www.geogebra.org.
Essa tarefa teve como objetivos: reconhecer ângulos internos de um polígono convexo qualquer; calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer e generalizar a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados. Para isso, foi utilizada a estratégia da subdivisão destes polígonos em triângulos internos formados a partir de um de seus vértices e as diagonais correspondentes, de forma que esses triângulos preenchessem todo o polígono, associando a soma dos ângulos internos ao número de triângulos formados.
Para a resolução da tarefa, a turma foi dividida em grupos de três estudantes e foram utilizadas 3 aulas de 50 minutos: duas para implementação e uma para a socialização das ideias desenvolvidas na implementação. Iniciamos a aula fazendo uma leitura coletiva [Vídeo 1] e solicitando aos estudantes que abrissem o Geogebra, software apresentado anteriormente à turma. Em seguida, fizemos a leitura da tarefa que era composta de duas questões. A primeira, solicitava que os estudantes construíssem no Geogebra polígonos de 3, 4, 5 e 6 lados e, posteriormente, desenhassem triângulos internos aos polígonos. Após isso, deveriam preencher uma tabela que solicitava o número de triângulos formados a partir dos polígonos e a soma dos ângulos internos desse polígono. Já a segunda questão solicitava a soma dos ângulos dos polígonos de 9, 10 e 100 lados.
Ao iniciarem a construção dos polígonos, percebi que houve uma dúvida de interpretação, pois estavam construindo triângulos a partir de vários vértices no mesmo polígono.
Figura 1
Além disso, ficaram inseguros principalmente com relação ao triângulo, eles diziam que não podiam desenhar outro triângulo dentro de um triângulo, pois segundo eles “ia para fora”. Um dos grupos solicitou minha ajuda com esse argumento:
Estudante: Pró, eu posso construir, mas vai sair do triângulo.
Professora: A partir desse vértice A, eu posso construir outro triângulo dentro desse?
Estudante: Não.
Então, sugeri que ela experimentasse para ver o que ia acontecer, pedi que ela selecionasse o ícone polígono e construísse o triângulo a partir de um único vértice. Ela tentou, conduzindo a construção para fora do triângulo como na figura 1.
Estudante: Só vai para fora pró.
Figura 2
Professora: Então, é interno?
Estudante: Não
Em seguida, solicitei que ela continuasse tentando até que ela traçou outro triângulo a partir do vértice B e vai para o lado oposto ao vértice do triângulo que estava construído conforme a figura 2:
Figura 3
Ela concluiu que iria acabar construindo o “mesmo” triângulo, pois são triângulos semelhantes. Nesse momento, podemos perceber que o software ajuda muito, pois ao tentar construir outro triângulo o estudante visualiza na construção que se trata da mesma figura.
Diante da dúvida deste grupo, chamei a atenção de todos, fui ao quadro e desenhei um polígono qualquer. Nele, marquei um dos vértices, mostrando que a construção dos triângulos internos teria que partir de um único vértice para os demais. Assim, a construção dos triângulos internos deixou de ser um problema. [Vídeo 2]
Um grupo me informou que já havia feito a soma dos ângulos de um polígono de 9 lados. Observei que eles construíram polígonos regulares, mas estavam marcando o ângulo usando o Geogebra, assim quando construíram o de 9 lados multiplicaram 9 vezes 140º sem construir os triângulos. Então, questionei: Quantos triângulos internos podemos construir nesse polígono a partir de um vértice? Eles não souberam responder e insisti:
Professora: A partir das construções que vocês já fizeram, será que vocês conseguem dizer quantos triângulos se formam sem precisar desenhar?
O grupo olhando para o polígono de 9 lados e para a sequência respondeu que seria 5. Percebi que eles observaram que os triângulos aumentavam de um em um, mas não relacionam com o número de lados dos polígonos. Mais uma vez solicitei que retornassem para as figuras construídas acompanho a sequência. Assim, o grupo acabou percebendo que sempre aumentava um triângulo e que não tinham considerado a ausência dos polígonos de 7 e de 8 lados na tabela.
Nesse momento, os estudantes de um grupo me chamaram e disseram que um polígono de 9 lados formam 7 triângulos e que sempre diminuíam 2. Aproveitei a solução do grupo e questionei:
Professora: Então, em um polígono de 20 lados, a partir de um único vértice, podemos construir quantos triângulos dentro?
Aluno P: 18.
Professora: Qual a soma dos ângulos internos desse polígono?
Aluno: 3240
Professora: Como fez?
Aluno R: Para cada polígono, retiramos dois lados para obter o número de triângulos, depois multiplicamos o número por 180º para chegar o resultado das somas dos ângulos.
Professora: Porque você tira esses dois lados?
Aluno P: Já está ligado a ele. [Vídeo 3]
A aula seguinte foi para socializar as descobertas de cada grupo e sistematizar os objetivos planejados para a tarefa. Iniciei, relembrando as questões da aula desenvolvida no laboratório de informática. Desenhei a tabela e os polígonos no quadro. Aproveitei para trabalhar a dificuldade que tiveram para entender que ao tentar construir um polígono interno ao triângulo, só poderia traçar o mesmo triângulo. Após isso, continuei a aula discutindo sobre os quadriláteros, eles preencheram a tabela colocando 2 na coluna de número de triângulos e perguntei:
Professora: Qual a soma dos ângulos internos do quadrilátero?
Aluna G: 360º.
Professora: Porque é 360º?
Aluna G: Porque se um triângulo é 180º, com dois é 360º.
Continuei construindo os triângulos internos nos polígonos de 5 e 6 lados e, em seguida, passamos a comentar a segunda questão. Então, questionei para os estudantes:
Professora: Para o polígono de 9 lados, qual é a soma dos ângulos internos?
Aluna G: 180º x 7.
Professora: Por quê?
Aluna G: Se um polígono tem nove lados, vai ficar com 7 porque fica a diferença de dois. No caso do de 50 também fica 48.
Perguntei a ela como descobriu essa relação. A solução da aluna pode ser vista no vídeo em anexo. [Vídeo 4] Diante da explicação dela, resolvi criar a seguinte situação:
Professora: Imagine uma pessoa que não fez nossa tarefa e estivesse precisando calcular a soma dos ângulos internos de um polígono de 210 lados, como você poderia ajudar essa pessoa?
Após algumas conjecturas, um aluno respondeu:
Aluno J: E “x-2” x180 [Vídeo 5]
Utilizei a expressão que João mencionou como estratégia para elaborar alguns questionamentos: a partir dessa expressão desenvolvida por vocês, eu teria como saber quantos lados tem um triângulo em que a soma dos ângulos internos é 3600o? Então, com muita rapidez uma aluna respondeu que deu 22 e ao questioná-la como calculou, a resposta foi dada com muita segurança. Sua resposta pode ser vista no vídeo em anexo. [Vídeo 6]
Nesse momento, solicitei a atenção dos estudantes, lembrando que a expressão que eles desenvolveram permitiu calcular a soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo e também determinar o número de lados desse polígono. Assim, tentando explorar as conjecturas deles, perguntei:
Professora: Vocês acham que podemos determinar a medida de um ângulo interno de um polígono?
Aluna B: Pode.
Professora: Como?
Aluna B: Pega o número de ângulos e divide pelo número de lados.
Professora: O número de ângulos?
Aluna P: Não professora. É o número de vértice dividido pela soma dos ângulos.
Percebi que a ideia estava correta, mas de forma inversa. Então, resolvi usar um exemplo e questionei por quanto teria que dividir quando a soma fosse 540. Ele então respondeu 5. Após calcular o resultado do ângulo interno, perguntei se qualquer pentágono tem essa medida de ângulo interno. Alguns disseram que não. Aproveitei a oportunidade e trabalhei o conceito de polígono regular de forma superficial, pois só abordei a igualdade das medidas dos lados e dos ângulos.
Fiquei muito feliz com o resultado da tarefa, pois no planejamento da mesma a considerei muito simples e com pouca exploração, mas ao implementá-la, descobri a riqueza dela e o quanto poderíamos explorá-la. Acredito inclusive que não explorei tudo que podia.
Para finalizar, agradeci a turma pela participação. A tarefa propiciou discussão, interação, motivação e reflexão na aula.
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LEITURA DA TAREFA
Nesse vídeo, a professora introduziu a tarefa utilizando a estratégia de fazer a leitura com o propósito de esclarecer aos estudantes o que a tarefa solicitava. Isso pode ser usado para evitar dúvidas de interpretação que possam vir a interferir na resolução da tarefa.
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS A PARTIR DE UM VÉRTICE
No desenvolvimento da tarefa, a professora utilizou a estratégia de ir ao quadro para mostrar aos estudantes como se constrói triângulos internos ao polígono. Isso foi feito porque a professora percebeu que os estudantes estavam com dificuldades em construir esses triângulos. Assim, é importante salientar aos estudantes que ao traçar esses segmentos de retas não podemos fazê-los com vértices adjacentes. Outro ponto a observar é que esse segmento de reta não deve ser entre o vértice fixo e outro ponto qualquer, mas entre o vértice fixo e pontos que sejam vértices não adjacentes.
INTERAGINDO COM OS ESTUDANTES
Nesse vídeo, a professora percebeu que os estudantes haviam construído um polígono regular para o polígono de 9 lados. Assim, marcaram seus ângulos internos e calcularam a soma deles. Então, a professora pediu ao grupo que observasse se existiria uma outra forma (sem utilizar o desenho) para fazer isso. Pode-se observar que a interferência da professora é para provocar o grupo desafiando e orientando para que consigam perceber as regularidades já registradas por eles. Assim, o grupo descobriu a regra e então, a professora pediu que eles registrassem como fazer para encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono. É importante observar que o diálogo da professora com o grupo foi fundamental para que eles conseguissem responder ao que a tarefa solicitava. Sugerimos que em momentos de dificuldades, como ocorreu aqui, o(a) professor(a) seja um mediador entre estudantes e conteúdos mobilizados na tarefa.
PORQUE MENOS 2?
Esse vídeo se refere a aula de sistematização do cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono qualquer. A professora desafiou a turma, perguntando especificamente a uma aluna porque sua resposta era 180 x 7, já que o polígono tinha 9 lados. Observe que a professora apresentou duas situações diferentes para a percepção do “menos 2“: a forma algébrica (observando a tabela) e a forma gráfica (olhando o desenho). Sugerimos que, sempre que possível, o(a) professor(a) utilize as duas formas de registro relacionando-as. Fique atento as possíveis dificuldades em relação a termos específicos, como a palavra adjacente, exemplificado neste vídeo pela aluna que teve dificuldades para se fazer entender quando se referiu as lados adjacentes.
COMO ESCREVER A EXPRESSÃO?
Nesse vídeo, a professora buscou estimular os estudantes a utilizar estratégias que permitissem calcular a soma dos ângulos internos por meio de uma expressão. Essa estratégia é importante para que o estudante entenda como se encontra a expressão, evitando que a mesma seja simplesmente memorizada. A forma como a professora interagiu com os estudantes possibilitou que essa discussão e resolução acontecesse.
EXPLORANDO OUTRO ASPECTO DA EXPRESSÃO
Nesse vídeo, a professora explorou a expressão (soma dos ângulos internos de um polígono) já desenvolvida pelos estudantes. A estratégia da professora foi informar o resultado da soma e questionar se teria como saber o número de lados do polígono. Esta situação permitiu que a professora desafiasse os estudantes para um aspecto implícito a expressão, porém nem sempre explorado, pois é muito comum solicitarmos apenas o valor da soma dos ângulos internos de um polígono. Aqui temos a possibilidade de inverter a forma de perguntar e explorar mais um aspecto da expressão.
