Objetivo
OBS.: Estamos denominando h a altura relativa à hipotenusa de um triângulo e m e n como as projeções de seus catetos.
Nível escolar
9º ano – Ensino Fundamental
Tempo
100 minutos (2 horas/aula de 50 minutos cada)
Conteúdo
Relações métricas no triângulo retângulos
Momentos
Introdução: Professor(a), inicie a aula, distribuindo o kit de materiais manipuláveis e a tarefa. Em seguida, você pode realizar a leitura das questões da tarefa com os estudantes.
Resolução da tarefa: Após esclarecimentos sobre a tarefa, solicite que a turma se organizem em grupos e durante a resolução, é aconselhável que você acompanhe os grupos, observando as estratégias desenvolvidas pelos estudantes e, se necessário, faça as devidas intervenções, mas não interfira no caráter investigativo da tarefa.
Socialização: Nesse momento, solicite que cada grupo comente suas estratégias e respostas realizadas durante a resolução da tarefa. Você pode aproveitar para legitimar as respostas dos estudantes, observando se ocorreu alguma resposta incorreta e esclarecendo as dúvidas.
Sistematização: Professor(a), você poderá comentar as questões e analisar as soluções apresentadas pelos estudantes junto com eles.
Recursos
Tarefa; régua; transferidor; compasso; tesoura e um kit de materiais manipuláveis, contendo dois triângulos retângulos na cor azul e dois triângulos retângulos na cor vermelha.
Material de referência
LAMAS, R.C.P., MAURI, J., O TEOREMA DE PITÁGORAS E AS RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO COM MATERIAL EMBORRACHADO (endereço eletrônico http://www.ime.usp.br/~iole/oteoremadepitagoras.pdf), 2006.
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Rivaldo Firmino Sousa
Em julho de 2013, desenvolvi uma tarefa de investigação com estudantes de uma turma do nono ano do Ensino Fundamental, na Escola Estadual Professora Armandina Marques, localizada no Bairro de Pau da Lima, zona periférica de Salvador-Ba. A turma era composta por 26 estudantes, numa faixa etária entre 14 e 16 anos, dos quais 24 estiveram presentes no desenvolvimento da tarefa. Para a realização da mesma, os estudantes foram organizados em grupos compostos por 4 estudantes.
A tarefa teve como objetivo principal investigar duas relações métricas no triângulo retângulo: em qualquer triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é igual a soma das medidas das projeções dos catetos (a = n+ m) e o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à ela é igual ao produto das medidas dos catetos (a.h=b.c).
Com o intuito de retomar estudos anteriores em relação aos elementos de um triângulo retângulo, desenhei no quadro a representação de um triângulo retângulo, identifiquei o ângulo de 90° e identifiquei os seus lados como cateto e hipotenusa. [Vídeo 1]
Após esses esclarecimentos iniciais, distribui aos grupos as tarefas e em seguida os kits de materiais manipuláveis. Nesses kits, havia dois pares de triângulos congruentes, sendo um par azul e um par vermelho. Em um dos triângulos dos pares azul e vermelho, os catetos foram nomeados por b e c, a hipotenusa nomeada por a, respectivamente. Nos outros dois triângulos, apenas estavam nomeados os catetos b e c, e a hipotenusa sem nomeação, conforme mostra a figura abaixo:
Figura 1: Triângulos nas cores azul e vermelho
Depois de distribuído os kits, foram feitos os seguintes questionamentos:
Professor: Vocês acabaram de receber um kit. O que é que tem nesse kit?
Aluna A: Triângulos
Professor: Quantos?
Estudantes: Quatro.
Professor: Quais as cores deles?
Estudantes: Dois azuis e dois vermelhos.
Em seguida, começamos a resolver a tarefa. Inicialmente, fizemos uma leitura compartilhada. A primeira questão perguntava o que havia em comum entre os triângulos. A maior parte dos estudantes respondeu que eram triângulos congruentes. Na sequência, orientei a eles que considerassem nos dois triângulos com os dois lados identificados, a hipotenusa como sendo a sua base. Em seguida, traçassem a altura em relação hipotenusa, cortando no segmento traçado, e escrevessem as suas observações.
Figura 2: Estudante marcando o triângulo na cor azul
Os estudantes perceberam que surgiram dois novos triângulos retângulos. Nesta questão, o objetivo era estabelecer a relação a = n+m. Assim, sugeri aos estudantes que nomeassem os lados dos triângulos e, em seguida, observassem e comparassem com os dois triângulos que tinham identificação dos três lados. Nesse momento, percebi que deveria ter solicitado também aos estudantes que nomeassem de h a altura dos dois novos triângulos encontrados, pois facilitaria a resolução da questão seguinte.
Além disso, percebi que um grupo havia cortado os triângulos e comparou-os com os triângulos que ainda não haviam sido cortados. Então, aproximei-me da equipe e iniciamos uma conversa. Solicitei aos alunos para comparassem os triângulo e observassem o que ocorreu, eles responderam que quando a figura é cortada, o cateto continua o mesmo, mas a hipotenusa quando é cortada, deixa de ser “a” e passa a ser “d” e “e”. [Vídeo 2]
O aluno nomeou de “d” e “e” os catetos que formavam os novos triângulos recortados. Assim, questionei ainda como seria uma forma matemática de escrever o que ele havia comentado. Como a equipe não chegou a conclusão, fui ao quadro, desenhei um segmento de reta que nomeei de a. Em seguida, desenhei outros dois segmentos de reta de tamanhos similares, decomposto em dois, que nomeei de “d” e “e”. Dessa forma, eles perceberam que a soma das medidas dos segmentos, denominados por eles de “d” e “e”, é igual a medida da hipotenusa do triângulo maior. [Vídeo 3]
Neste momento, pude perceber que o kit foi um recurso didático muito importante para atingir os objetivos esperados, pois por meio da manipulação dos materiais os elementos matemáticos, que teriam um caráter puramente abstrato, tornaram-se concretos. Em seguida, fui chamado por outra equipe, que sinalizou ter terminado a tarefa.
A equipe referia-se a segunda questão que tinha como objetivo deduzir a relação b.c = a.h. Nesta questão, foi solicitado que os estudantes montassem com as peças vermelhas um retângulo qualquer e com as peças azuis outro retângulo com dimensões diferentes do primeiro e que relatassem o que haviam observado sobre as áreas deles. Ao observar à equipe, percebi que os estudantes haviam montado os retângulos conforme solicitado na questão. Eles responderam: “com os vermelhos formou-se um retângulo, com os azuis formou-se um retângulo com dimensões diferentes do primeiro. Eles tem a mesmo área.”
Neste momento, questionei como eles poderiam calcular a área desses dois retângulo que foram formados. Eles responderam que deveriam multiplicar um dos lados pelo comprimento.
Incentivei, então, que eles indicassem as letras que representavam aqueles lados. Eles indicaram corretamente, porém nesse momento houve grande dificuldade, pois não havia uma representação para um dos lados de um dos retângulos. Este lado era justamente a altura não nomeada dos triângulos que foram cortados. Dessa forma, solicitei aos estudantes que nomeassem esse lado do retângulo de h. Assim, eles indicaram que um dos retângulos tinha área a.h e o outro b.c. Neste momento, continuei provocando para que eles expressassem matematicamente, já que haviam percebido que as áreas eram iguais. Por fim, concluíram que c.b = a.h.
Findada a questão, para sistematizar a aula, perguntei quem queria ir ao quadro explicitar aos demais colegas as conclusões que haviam chegado. Nesse momento, uma aluna foi ao quadro, desenhou o kit, fizemos alguns ajustes necessários e ela mostrou como chegou à conclusão que a.h = b.c.
Por fim, considero que trabalhar com conceitos de geometria utilizando materiais manipuláveis foi muito gratificante, pois este material possibilitou aos estudantes reflexões e descobertas. Percebi que os objetivos foram atingidos sem que eu precisasse recorrer à demonstrações convencionais como as apresentadas em quase todos os livros didáticos e na maioria das aulas expositivas. Este objetivo foi atingido pela manipulação, pelas conjecturas e observações feitas pelos próprios estudantes.
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RELEMBRANDO CARACTERÍSTICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Nesse vídeo, o professor iniciou a aula fazendo uma leitura prévia da tarefa, retomando o conceito de triângulo retângulo e seus elementos. Neste caso, a estratégia foi adotada com o propósito de facilitar o uso destes conceitos na resolução da tarefa pelos estudantes.
NOMEANDO AS PROJEÇÕES DOS CATETOS
Nesse vídeo, o professor aproximou-se de um grupo, retomou a leitura da primeira questão e questionou o que eles observaram. Um aluno relatou que no momento em que a figura foi cortada, o cateto permaneceu o mesmo. Entretanto, a hipotenusa deixou de ser a e passou a ser d e e. Nessas condições, os estudantes denominaram as projeções como sendo d e e. É importante que o professor perceba que a mudança no padrão convencional de nomeação m e n, não interfere na dedução da relação métrica. Posteriormente, essa convenção pode ser indicada como a mais utilizada na matemática escolar.
"A" É IGUAL A "D" E "E"
Nesse vídeo, o professor percebeu que os estudantes apresentaram dificuldades de expressar matematicamente o que eles indicavam como a = d e e. Diante disso, ele foi ao quadro e questionou os estudantes como poderiam representar algebricamente aquela relação. Para facilitar a compreensão dos estudantes, o professor desenhou dois segmentos de reta de tamanhos similares, um denominado de a e outro decomposto em d e e. Esta estratégia foi interessante, pois os estudantes perceberam que a é igual a d mais e.
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